?

Log in

No account? Create an account

Про фазы трехфазного тока.

« previous entry | next entry »
Sep. 15th, 2017 | 11:44 am

Задумался я недавно о токе в нулевом проводе при подаче трехфазного тока, и сложении нагрузки, и в связи с этим у меня появилось два сложных вопроса. При попытке внятно сформулировать эти вопросы, как обычно бывает, на них появились ответы, но внутреннее чувство неудовлетворенности этими ответами осталось. Ну и вообще занятно, стоит записать.

Рассмотрим множество функций, которые получаются из синуса сдвигом аргумента (т.е. фазы). Потом рассмотрим множество их линейных комбинаций.

Факт 1: любая линейная комбинация сдвигов синуса является просто сдвигом синуса с некоторым коэффициентом. Доказывается это тривиально, школьных формул хватает, но интуитивно все-таки удивительно (мне лично). Формальное вычисление не показывает,почему это должно быть так.

Некоторое прояснение дает то соображение, что сдвиги синуса (с коэффициентами) - это в точности все решения дифура y'' + y = 0, а множество решений обыкновенного линейного дифура - линейное пр-во.

Теперь хочется понять, а какой бывает норма разных линейных комбинаций, скажем, синуса и косинуса. Или, что актуальнее в исходном вопросе, синуса и его сдвига на 2 pi /3 .

Множество наших функций - двумерное линейное пр-во, и относительно интересующей нас нормы (среднеквадратичной -так как мощность, выделяющаяся эл.током, пропорциональна квадрату напряжения при фикс. сопротивлении) - явлется гильбертовым пр-вом, а г.пр-во размерности два - это обычная плоскость, изучаемая школьной планиметрией. И вот тут всплывает второй удивительный факт.

Факт2. "Угол" между двумя сдвигами синуса, определенный в смысле обычной планиметрии, относительно гильбертовой нормы функции, в точности равен сдвигу фазы.

Как и в первом случае, технически доказать это тривиально (кстати, по той же формуле, что и факт1), но меня поражает сам факт равенства величин, исходно по построению вовсе имеющих разную природу (насколько числа вообще могут иметь разную природу) - одно из области определения решений нашего исходного дифура, а второе - ну какие-то школьные планиметрические углы, да еще измеренные в радианах.

И хотя объяснений, в том числе высокоидейных, этому совпадению можно придумать кучу, ощущение некоторого чуда у меня есть.

Upd, следствие. Может стоит пояснить, зачем мне это было нужно. Вопрос, который у меня изначально был - может ли ток по нулевому проводу быть больше, чем по любому проводу фазы (при трехфазном напряжении), и если да, в каких обстоятельствах. Планиметрическая картинка дает четкий однозначный ответ - если у нас нет индуктивного сопротивления (т.е. сдвига фазы тока от фазы напряжения), то ток по нулевому проводу всегда не больше, чем максимальный ток среди трех фаз. А вот если есть в одной из фаз индуктивное сопротивление, то все зависит от его величины и собственно потребляемой по этой фазе (на которой сдвиг) мощности, но все та же картинка для каждого конкретного случая дает способ точно вычислить (средний) ток в нулевом проводе.

Конечно, это азбучные вещи для любого электрика и тем более инженера, но я не электрик, и мне хотелось понять самому без заглядывания в ответ.

Link | Leave a comment |

Comments {8}

Arnold

(no subject)

from: arno1251
date: Sep. 15th, 2017 11:50 am (UTC)
Link

+++ любая линейная комбинация сдвигов синуса является просто сдвигом синуса с некоторым коэффициентом +++
для меня это всегда было как-то графически интуитивно очевидно: синус есть проекция вращающегося вектора на ось ординат. Если мы прибавляем к исходному вектору сдвиг любой фазы и амплитуды, то просто суммируем векторы, и результат (как конечная точка получившейся "жесткой" ломаной линии) тоже вращается с той же скоростью, сколько бы векторов мы не прибавляли.

Reply | Thread

Konstantin Abramenko

(no subject)

from: a_konst
date: Sep. 15th, 2017 11:57 am (UTC)
Link

Да, действительно, графически понятно. Ваше объяснение самое простое из тех, что я знаю. Спасибо.

Edited at 2017-09-15 11:57 am (UTC)

Reply | Parent | Thread

(no subject)

from: pupugai
date: Sep. 15th, 2017 08:32 pm (UTC)
Link

Проще будет, если рассматривать всё это в комплексной плоскости. Решениями уравнения y'' = -y будут функции вида f(t)=A·exp(it). (На самом деле нас интересует только действительная их часть: Re f(t), но забудем пока про это). Тут A - любое комплексное число (в него включается и амплитуда, и сдвиг по фазе: модуль A - это амплитуда, аргумент А - это сдвиг по фазе, т.е., если A=r·exp (\phi· i·\pi), то Re f(t) = r·cos (phi + t).)
Тогда становиться очевидно, что чтобы сложить сдвинутые синусы надо складывать А:
A1·exp(it) + A2·exp(it) = (A1+А2)·exp(it).
Что может быть проще?

Поэтому, когда говориться о гармонических колебаниях с одной частотой, всегда лучше думать о комплексных числах. Сила переменного тока это комплексное число, переменное напряжение - тоже комплексное число. Самое интересное, что закон Ома тоже будет выполняться, но сопротивление будет комплексным числом: обычное сопротивление это действительное число, а индуктивное сопротивление это комплексное число.


Собственно комплексные числа для этого и нужны.

Reply | Thread

Konstantin Abramenko

(no subject)

from: a_konst
date: Sep. 18th, 2017 11:43 am (UTC)
Link

Спасибо за сообщение, но:
1) комплексные числа нужны не для этого. В смысле, причина их изобретения, и включения в разные общеобразовательные программы, не в этом.

2) картинка с комплексными числами менее удобна для поиска ответа на совершенно практические вопросы (типа тех, что я написал в конце поста - какой ток будет в нулевом проводе). Да, через них можно посчитать ответ, но обычной школьной планиметрией этот ответ ищется и быстрее и доступнее по уровню требуемой подготовки.
И (как мне видится по опыту) любой не-вычислительный способ точно найти ответ на эти вопросы в компл.числах по сути будет калькой с планиметрических методов.

С другой стороны, конечно, все чудо этих фактов (из моего поста, ф1 и ф2) растет из формул синуса и косинуса суммы, которые суть просто вещественная запись комплексной экспоненты. Вот чудо комплексной экспоненты тут, конечно, базовое (и само по себе гораздо сильнее).

Reply | Parent | Thread

edwardahirsch

(no subject)

from: edwardahirsch
date: Sep. 25th, 2017 07:40 am (UTC)
Link

Тоже недавно размышлял на эту тему. Но в ощущениях мне был дан обрыв нуля (к счастью, при свидетелях, и вообще весь удар на себя принял отдавший свою жизнь за другие приборы сетевой фильтр, но выглядело феерично). Поставил реле напряжения после этого. На всякий случай.

Reply | Thread

Konstantin Abramenko

(no subject)

from: a_konst
date: Sep. 25th, 2017 12:58 pm (UTC)
Link

Реле напряжения - выключающее фазы при обрыве нуля?

Reply | Parent | Thread

edwardahirsch

(no subject)

from: edwardahirsch
date: Sep. 25th, 2017 01:17 pm (UTC)
Link

Выключающее фазу при выходе напряжения на ней за указанные пределы. У меня три штуки однофазных, но можно и одно трёхфазное.

Когда молния в столб рядом ударила, выключились все :-)

Reply | Parent | Thread

edwardahirsch

(no subject)

from: edwardahirsch
date: Sep. 25th, 2017 01:19 pm (UTC)
Link

http://rbuz.org/products/19365095

Reply | Parent | Thread